Música Fractal

Música y matemática siempre tuvieron una cercana relación. Desde Pitágoras se sabe que la armonía de tono está íntimamente vinculada a la frecuencia numeral. Otra aplicación de los fractales aparentemente irrelevante es la música fractal. Ciertas músicas, incluyendo las de Bach, Beethoven y las de Mozart, cumplen con las propiedades fractales.

Ecossais.gif (22634 bytes)

Una simple pieza de la música de Beethoven, la "Primera Escossaien" muestra líneas con un análisis formal; son un total de 32 unidades o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una: A (1 a 16), B (17 a 32), y a la vez se dividen en 2 períodos: A (1y2) y B (3y4), que se fraccionan en 2 partes: (a y a') compuestas por 4 unidades (1,2,3,4) agrupadas cada una de a 2 (1y2) que serán definidas y diferenciadas con letras y números.
Presenta esta melodía un balance simétrico de 2 partes. Cada sucesiva subdivisión de 32 unidades es una unidad binaria y una réplica más pequeña de la unidad más larga que la contiene.
Sus divisiones forman motivos y pequeñas unidades de estructuras binarias autosimilares.
"Períodos" y "Secciones" son construcciones de pequeñas unidades acumuladas dentro de un gran grupo binario (A y B). La forma binaria es, probablemente la más corriente en la música encontrándose distintas variedades de esta forma. Incluso la forma ternaria (ABA) está constituida sobre motivos binarios y también las forma sonata.
Cada sección (A y B) son construcciones con unidades binarias. Desde entonces sinfonías y conciertos usan formas sonatas teniendo el mismo tipo de estructura jerárquica.
La forma de "Escossaien" de Beethoven no es una excepción entre las composiciones musicales, muchas composiciones son estructuradas de manera similar con unidades de 4 y de 2 compases.

beet28-3.gif (17742 bytes)
Otro ejemplo es el Scherzo, construido sobre un compás de 3 tiempos, tiene un motivo claramente identificable: 2 corcheas y una negra ( ) como acorde desplegado en forma descendente.
El principal motivo consiste en 2/8 (dos corcheas) agregadas en conjunto en 1/4 (una negra) como acorde.
Este motivo ternario (porque está compuesto por 2 corcheas y una negra(2+1=3)), es repetido en todas las partes del Scherzo. El Scherzo tiene formas ternarias y binarias en varias escalas.
Estas combinaciones son abundantes en toda la literatura musical.
Las formas fractales fueron generadas al usar una simple fórmula repetitiva y una "semilla" o "motivo". Esta semilla es la forma básica usada para generar un fractal.
Todas las partes de un árbol pueden ser hechas por una línea geométrica básica y una simple regla de transformación.

Música generada por software:

En los últimos años, estalló un nuevo campo de ciencias: caos, fractales y autosimilitud, dentro de las cuáles se desarrolló una nueva forma de edición musical generada por diferentes programas:

 

           

Nº decimales

Nº binarios

Suma de dígitos

Tono

1

1

1

c

2

10

1

c

c

3

11

2

d

.

4

100

1

c

c

c

5

101

2

d

.

.

6

110

2

d

d

.

7

111

3

e

.

.

8

1000

1

c

c

c

9

1001

2

d

.

.

10

1010

2

d

d

.

11

1011

3

e

.

.

12

1100

2

d

d

d

13

1101

3

e

.

.

14

1110

3

e

e

.

15

1111

4

f

.

.

16

10000

1

c

c

c

 

  • K*OS: para producir una canción en este programa se debe crear por lo menos tres fractales. Los cuales pueden ser usados para el ritmo, estructura o melodía de la canción. Si está siendo usado para la melodía., luego se elige el instrumento a utilizar.

 

  • MUSICA GA: es una demostración interactiva fácil para el usuario de un  algoritmo genético. El paso interactivo, la frecuencia mutación y recombinación (operadores genéticos) son todas controladas por el usuario. Cada serie de notas musicales es representada en forma binaria en un orden de 128 elementos de largo. Esto permite un máximo de 30 notas por melodía y provee una solución con aproximadamente 3.4* 10 ^ 38 melodías posibles.  El GA debe ser capaz de encontrar una cercana melodía óptima después de buscar sólo una fracción de espacio de solución.

Algunos ejemplos de música fractal son:

notas.gif (101 bytes) notas.gif (101 bytes)
notas.gif (101 bytes) notas.gif (101 bytes)

purpleleftarrow1b.gif (1616 bytes) a página principal