LA DIMENSIÓN FRACTAL

La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos.  El concepto de longitud no está claramente definido.  La longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longitud en estos casos, carece de sentido.  Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal, que sea una generalización de la dimensión euclídea.    Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres.  Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano).  En general lo que sucede es que la longitud de la curva fractal es superior a la del segmento de recta que lo genera, y por lo tanto, en general la dimensión fractal será un número comprendido entre uno y dos.  La dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjunto de longitud L que hacen falta para cubrir X por L.

¿PUEDE EXISTIR UNA DIMENSIÓN FRACCIONAL?

Para calcular la dimensión de un fractal se usan los conceptos de límite, logaritmo, escalas y medidas.  En el cálculo de la dimensión de fractales muy complejos como el conjunto Mandelbrot se usan computadoras, pero para fractales más simples se usan formulas matemáticas, una muy común es la de Hausdorff-Besicovitch.  Ejemplo: el cálculo de la dimensión del triángulo de Sierpinski, utilizando un método llamado similitud por duplicación.

Si tomamos un segmento de longitud 1 y lo duplicamos tendremos 2 segmentos iguales al original

Si duplicamos los lados de un cuadrado de lado 1 tendremos 4 cuadrados iguales al original

Tomamos ahora un cubo de largo, alto y ancho 1 y duplicamos todas sus medidas, tendremos ahora 8 cubos iguales al original.

Disponemos estos datos en una tabla:

Un segundo ejemplo podría ser la curva de Koch. Cada paso en la génesis de la curva aumenta un tercio su longitud en forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior:

Así por ejemplo en el caso de la curva poligonal de nivel 10, la longitud es 1.(4/3)^(10-1):

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