Problema: En un kiosco hay que comprar mercaderías para poder venderla. Hace unos días hemos comprado 4 cajas de chocolates y tuvimos que pagar $18 por ellas. ¿Cuánto deberemos pagar si queremos comprar 7 de esas cajas de chocolate?

La respuesta a este pequeño problema nos introduce en el tema de

LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Pensamos que estarás de acuerdo con nosotros si te decimos que nos conviene averiguar primero cuanto cuesta UNA SOLA caja de chocolates, para que de esta manera solamente tengamos que multiplicar el precio de UNA caja por la cantidad de cajas que queremos comprar.
Pero ¿cómo averiguamos el precio de una caja? Es fácil verdad, basta con dividir lo que cuesta cierta cantidad de cajas por la cantidad de cajas. Según los datos, hemos comprado 4 caja a $18, entonces haciendo la cuenta: 18 dividido 4, obtenemos el precio de $4,50 por caja. Y ahora solamente debemos multiplicar por 7 para tener la respuesta al problema: Las 7 cajas cuestan $31,50.
Si quisiéramos saber cuanto costarán 9 cajas, bastará con multiplicar por 9 el precio unitario de $4,50. En este caso tendríamos 9 x $4,50 = $40,50.
Hasta podemos elaborar una tabla de dos columnas, en la cual la primera contendrá la cantidad de cajas de chocolates y en la segunda el precio a pagar por esa cantidad de cajas. Te presentamos la tabla de precios para la compra de 12 cajas de chocolates como las que compramos nosotros en el problema:

Cantidad de cajas
Precio
en $
0
0
1
4,50
2
9,00
3
13,50
4
18,00
5
22,50
6
27,00
7
31,50
8
36,00
9
40,50
10
45,00
11
49,50
12
54,00

De esta tabla podemos sacar algunas conclusiones interesantes. Para ello te pedimos que hagas la misma actividad que tuvimos que realizar nosotros. Divide cada número de la segunda columna por su correspondiente número en la primer columna, por ejemplo el 4,50 con el 1, el 9 con el 2 y así sucesivamente hasta terminar. Expresa las divisiones en forma de fracción, como te mostramos a contiuación.

Seguramente al hacer todas las cuentas te ha dado como resultado 4,50. Este número coincide con el precio unitario de las cajas de chocolates. Si recuerdas, cuando una cantidad permanece sin cambiar se la llama CONSTANTE. Entonces el precio unitario de las cajas de chocolates es una constante, porque esta cantidad no varía a pesar de que si cambien la cantidad de cajas compradas y el precio total pagado por la compra.
Hemos encontrado una interesante propiedad de este tipo de problemas: LA CONSTANTE UNITARIA. Se llama así a la constante porque hace referencia a la cantidad UNO. Es decir que la constante siempre se referirá en estos casos a la unidad. En los problemas que analizaremos poco después la volverás a ver aparecer.

Otra propiedad interesante de este tipo de problemas son las variables. Habrás notado que si la cantidad de cajas comprada cambia, también cambia el monto (cantidad) del precio total a pagar. Por una caja se paga 4,50, por 3 cajas se paga 13,50, etc. Puesto que tanto la cantidad de cajas compradas como el precio a pagar cambian, se las llama VARIABLES. Las variables son las cantidades que van cambiando. Seguramente recuerdas esto del curso de introducción a las funciones, y sino lo recuerdas entonces puedes saberlo desde ahora. En nuestro problema ya sabes, las variables son: la cantidad de cajas compradas y el precio a pagar por esa cantidad. Es decir, que tenemos dos variables.
Pero esto no es todo sobre el tema de las variables. También te habrás dado cuenta, que el precio cambia si cambia la cantidad de cajas compradas. Esto nos indica que la variable precio a pagar depende de la variable cantidad de cajas compradas.Como la variable precio a pagar depende de la otra variable se le llama variable dependiente, mientras que a la variable cantidad de cajas compradas se la llama variable independiente. Entonces podemos decir que:
Una variable es dependiente SI DEPENDE de otra variable y
Una variable es independiente si NO DEPENDE de otra variable.

Escribiendo en fórmulas

Escribir en fórmula es hallar una expresión algebraica en la cual cada letra, símbolo y número represente una cantidad o una operación o relación entre las cantidades y las operaciones.
Por ejemplo en la fórmula S = B x H, que da el área de un rectángulo, las letra S representa el resultado de multiplicar a B y H, quienes a su vez representan a la base y a la altura del rectángulo. La operación multiplicación está indicada en este caso por la letra x, mientras que el signo = nos indica que la relación que existe entre la multiplicación de la base y la altura con el área total del rectángulo es la relación de igualdad.
Habiendo echo este pequeño repaso sobre lenguaje algebraico, podemos decir que nuestro problema del precio a pagar por la compra de cajas de chocolate puede ser expresado con una fórmula. ¿Cómo?

¿Recuerdas que para averiguar cuanto debíamos pagar por las 7 cajas, multiplicamos al precio unitario por 7?. Teniendo en cuenta esto podemos entonces hallar la fórmula que nos permita calcular el precio a pagar según la cantidad comprada, y para ello solamente debemos escribir:

precio a pagar = precio unitario x cantidad de cajas compradas

Podemos hacer más breve la fórmula anterior, poniendo a cada parte de la misma una letra. Por ejemplo podemos decir que:
P = precio a pagar, k = constante unitaria, C = cantidad de cajas compradas. Entonces escribimos la fórmula de esta manera:

P = kC

(el signo x, no es necesario para indicar multiplicación cuando no hay números).

Entonces tenemos que las variables son P y C, mientras que la constante unitaria es k.
Si recuerdas, habíamos dicho que el precio a pagar, es la variable dependiente en este problema. Esto también puede figurar en la fórmula si la escribimos de la siguiente manera:

P(C) = kC

al escribir la variable independiente entre paréntesis al lado de la dependiente, estamos diciendo que la variable dependiente P depende de la variable independiente C (este también es un tema de introducción a las funciones).

La fórmula nos da la forma (el modelo) que tiene nuestro problema. Este modelo es f(x) = kx. Porque nuestro P(C) es f(x) y nuestra C es la x, la k es la k. Este modelo recibe un nombre particular en matemáticas el cual es PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Entonces podemos afirmar que una proporcionalidad directa es el modelo matemático que tiene la forma f(x) = kx.
Donde f(x) es la variable dependiente, x la variable independiente y k la constante unitaria.

Si queremos saber si un problema es de proporcionalidad directa o no, simplemente debemos ver si ese problema responde a la forma f(x) = kx, si tiene esta forma entonces es de proporcionalidad directa, sino tiene esta forma entonces no es de proporcionalidad directa.

HASTA AQUÍ HEMOS APRENDIDO QUE

  1. Una proporcionalidad directa tiene la forma f(x) = kx
  2. f(x) es la variable dependiente, entonces depende de otra variable
  3. x es la variable independiente, entonces no depende otra variable
  4. k es la contante unitaria, es una valor fijo, no cambia y se refiere a la unidad (al valor uno).
  5. f(x) depende de x

¿CÓMO HALLAR LA CONSTANTE UNITARIA?

Para hallar la constante unitaria debemos tener en cuenta que la forma general de la proporción directa es: f(x) = kx, entonces conociendo f(x) y x basta hacer un pasaje de miembros en la igualdad para hallar el valor de k. Con lo cual tenemos que:

Propiedades de la proporcionalidad directa

1. Conservación de la relación entre las magnitudes

Esta propiedad nos permitirá resolver este problema: "Si la relación entre el volumen de una sustancia y su peso es de la forma P(V) = kV, donde P(V) es el peso que depende del volumen y V el volumen, entonces cuando el volumen aumenta el cuádruplo (por 4) ¿en cuánto aumenta el peso de esa sustancia?"

Si regresas a la tabla que hicimos con los precios a pagar por la compra de hasta 12 cajas de chocolates, verás que si aumenta el doble la cantidad de cajas compradas, también aumenta el doble el precio a pagar por esas cajas.
En efecto, observa que si compras 2 cajas, pagas $9,00, mientras que si compras 4 cajas pagas $18,00.
Pero 4 es el doble de 2 y 18 es el doble de 9.
También puedes probar con un aumento del triple de cajas, verás que también aumenta el triple el precio a pagar.
Esto nos permite afirmar que la proporcionalidad directa conserva la relación entre las magnitudes. Lo cual significa justamente lo que venimos comentando, que si una magnitud aumenta en cierta cantidad de veces, también lo hace la otra magnitud en esa misma cantidad de veces.
También los profesores nos han explicado que la propiedad anterior puede expresarse de la siguiente manera.

La letra "a" en las fórmulas de arriba es la cantidad de veces que ha aumentado cada variable.
Si bien la imagen anterior muestra como se escribe realmente en matemática la propiedad de la conservación de la relación entre las magnitudes, para nosotros basta con saber que si una magnitud aumenta en una proporción la otra lo hace en la misma proporción. Al doble el doble, al triple el triple, al cuádruplo el cuádruplo, al tercio el tercio, al quinto el quinto, etc.

Ahora puedes responder al problema inicial de esta propiedad.

2. La distribución proporcional

Esta propiedad nos permitirá resolver el siguiente problema: "Para festejar el primer cumpleaños del Kioscacho hemos decidido repartir $550 entre los cinco novenos de la escuela. Pero el reparto no será en partes iguales, sino en partes proporcionales de acuerdo a la cantidad de alumnos que tenga cada curso. Sabiendo que el 9° I tiene 24 alumnos, el 9° II tiene 23 alumnos, el 9° III 20 alumnos, el 9° IV 22 alumnos y el 9° V tiene 21 alumnos ¿cuánto dinero le corresponde a cada curso?"

Antes de responder al problema, volvamos a la tabla de precios de cajas de chocolate. En la tabla observamos que a 2 cajas le corresponde $9, a 4 cajas le corresponde $18 y a 6 cajas le corresponden $27. Tenemos entonces que:

2 cajas ------------------------- $ 9
4 cajas -------------------------$18
6 cajas -------------------------$27
Observa que 2 + 4 = 6 y que $9 + $18 = $27, es decir que los resultados de la tercer fila podemos hallarlos como la suma de las dos primeras. De esta manera, aunque en nuestra tabla no figure el precio para 15 cajas de chocolates, podemos obtener el resultado sumando los precios de 3 y 12 cajas, o también de 7 y 8 cajas. Claro que también podemos encontrar el precio para las 15 cajas multiplicando el precio de una por 15. Pero ahora nos interesa esta propiedad de la proporcionalidad directa, la cual puede enunciarse así: "f(x) + f(y) = f(x+y), lo cual significa que la suma de dos proporciones directas es igual a la proporción directa de la suma".
Solamente para los que estén interesados la propiedad anterior se demuestra de la siguiente manera:
Como f(x) = kx (por la definición de proporcionalidad directa) y f(y) = ky (también por definición) se tiene que:
f(x)+f(y) = kx + ky = k(x+y) = f(x+y).
Aclaración: kx + ky = k(x+y) por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Y k(x+y) = f(x+y) por la definición de proporcionalidad directa.

Esta propiedad es muy útil para el reparto proporcional, porque supongamos que se nos dice que por la compra de 2 cajas de chocolate y la de 4 cajas de esos mismos chocolates pagamos en total $27, entonces ¿cuánto pagamos por las 2 cajas y por las 4 cajas? Para ver la explicación haz click aquí.

Ahora ya estamos listos para responder al problema del reparto de los $550 entre los novenos años de nuestra escuela. Primero intenten resolvervelos solo y luego recién hagan click aquí.

HASTA AQUÍ HEMOS APRENDIDO

  1. Que es una proporcionalidad directa
  2. Que es la constante proporcional o constante unitaria
  3. Cuales son las variables dependiente e independiente
  4. Como hallar la constante proporcional
  5. La propiedad de la conservación de la relación entre las magnitudes
  6. La propiedad de la distribución o reparto proporcional.

Ahora veremos la gráfica de la proporcionalidad directa. Para ello haz click aquí.

Para resolver algunos problemas puedes hacer click aquí.