LA FUNCIÓN LINEAL

 

Es conveniente que para ver este tema tengas en claro :

·        Introducción a las funciones

 

 

Todos los meses debemos abonar la factura de luz. Te mostramos las tres últimas facturas que hemos tenido que pagar:

Analizando las tres facturas vemos que existe un importe que se repite: el básico. Éste es el que tenemos que pagar sin importar si consumimos o no energía. Sería el mantenimiento de la línea.

También podemos observar que hay un valor que cambia con la cantidad de Kw. consumidos, el subtotal de consumo de energía.

Finalmente el total depende como la suma del básico más el consumo de energía depende de estos dos valores.

Antes de continuar con la lectura de esta página intenta hallar una fórmula que te permita calcular el total de la factura de un período cualquiera, teniendo en cuenta que puede variar la cantidad de Kw. consumidos.

 

 

La fórmula:

            No es muy complicado entender que el total se calcula haciendo la siguiente cuenta:

precio de un Kw. x Cantidad de Kw. consumidos en un período  +  básico = total de la factura

 

sabemos que:

·        precio de un Kw. es $0,23.

·        Básico es $12.

·        Cantidad de Kw. consumidos es una variable, porque puede cambiar según el período facturado. Entonces podemos ponerle una letra a fin de identificar esta variable. Nosotros elegimos la letra x, entonces tenemos que:

X = cantidad de Kw. consumidos en un período

·        El total depende de la cantidad de Kw. consumidos, porque el básico permanece constante en todos los períodos. Entonces es la variable dependiente, mientras que los Kw. consumidos en el período es la variable independiente. Escribiremos el total de la factura como f(x). Recuerda que poner la variable independiente entre paréntesis indica que f depende de x.

 

Con estas consideraciones podemos expresar la fórmula de la siguiente manera:

f(x) =$0,23x + 12

 

            La formula anterior nos  indica que hay una relación entre el total a pagar y las constantes y la variable x. Además si pensamos un poco veremos que la relación es una función, porque a una cantidad de Kw. consumidos le corresponde un y sólo un total, no puede haber dos precios a pagar distintos si la cantidad consumida es la misma. Entonces la fórmula anterior nos dice que estamos en presencia de una función.

            Como recordarás de introducción a las funciones, éstas pueden graficarse. Intenta realizar la gráfica de la función que estamos analizando antes de continuar.

 

La imagen te muestra la gráfica de la función:

f(x) = 0,23 x + 12, en el dominio   Las líneas rojas dan las coordenadas aproximadas de los tres puntos que conocemos por  las facturas. La coordenada vertical no es precisa en dos puntos porque el programa que usamos (WinFun) aproxima los valores en algunos casos. Pero sirve para lo que queremos hacer.

Además no tomamos los valores negativos de x porque no puede haber una cantidad negativa de Kw. consumidos, como mínimo el consumo es 0 y como esta función solamente tiene valores negativos cuando x < 0, entonces tampoco se consideran los valores negativos del eje vertical.

Observando la gráfica vemos que la primer coordenada vertical que aparece es el número 12. Esto coincide con el valor  x =0, es decir que si no consumimos energía deberemos pagar $12 por el mantenimiento de la línea eléctrica que nos corresponde. Matemáticamente decimos que el origen de coordenadas se ha desplazado hacia el punto (0,12), en lugar de estar en el (0,0), por ello a este valor se lo llama ORDENADA AL ORIGEN. Entonces la ordenada al origen es el valor de la función f(x) en x = 0.

Otra observación de la gráfica nos conduce a afirmar que es una recta que forma un ángulo con el eje horizontal. En efecto si tomamos al eje horizontal como uno de los lados del ángulo, a la recta como el segundo lado y al punto ordenada al origen como el vértice, tenemos el ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Este ángulo es importante, porque hay una sola recta que tiene este ángulo y es la que hemos graficado. Y aunque no lo creas el ángulo esta indicado en la fórmula. Tu mismo nos dirás que elemento de la fórmula es el que indica el ángulo. Para ayudarte en tu razonamiento te mostramos la gráfica de otras dos funciones que también tienen al 12 como ordenada al origen, pero cuyo ángulo no es el mismo de la función anterior.

 

La gráfica en verde corresponde a la función

g(x) = 0.56x+12

La azul, es nuestra conocida

f(x) = 0.23x+12

y la fucsia es la gráfica de la función

h(x) = 0.115x+12

 

Ya habrás notado que las tres gráficas tienen tres ángulos distintos y lo único que ha cambiado en las fórmulas (además de las letras de las variables dependiente) es el número que multiplica a la x. Esto nos permite conjeturar que el número que acompaña a la x, es justamente el indicador del ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Y en efecto, éste número llamado PENDIENTE DE LA RECTA, es quien nos marca que ángulo forma la recta con el eje horizontal.

Para entender porque es este número el indicador del ángulo, debes saber trigonometría de triángulos rectángulos. En ese tema se estudia entre otras funciones, la función tangente y es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal el número al que hemos llamado PENDIENTE DE LA RECTA. Si pones este número en la calculadora y presionas SHIT y luego TAN entonces verás el valor del ángulo en decimales. El valor del ángulo de nuestra función total de la factura es 12.9527645 que son aproximadamente 12° 57’ 9” (12 grados, 57 minutos, 12 segundos).

A partir de la observación de las tres gráficas de la segunda imagen, podemos conjeturar que todas las funciones que tengan la forma f(x) = a x + b, son funciones cuya gráfica es una recta. Y así es en efecto.

            Entonces generalizamos las observaciones anteriores diciendo que:

LA FUNCIÓN LINEAL ES LA FUNCIÓN QUE TIENE COMO GRÁFICA UNA RECTA Y SU FORMA GENERAL ES f(x) = a x + b .

Donde a es la pendiente (tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal o eje de abscisas)

           b es la ordenada al origen, es decir el punto la coordenada vertical en el punto (0,b) o (0, f(0)).

 

Si has entendido el tema hasta aquí puedes decir cual es la pendiente y la ordenada al origen en la función

h(t) = 5t + 1

Si alguna vez encuentras una función como g(p) = 8p – 5, entonces la ordenada al origen es (-5), 5 por debajo del eje horizontal.

 

QUE HEMOS APRENDIDO HASTA AQUÍ

·        Que la función lineal tiene como gráfica una recta

·        Que la función lineal tiene la expresión f(x) = a x + b, como forma general.

·        Que a es la pendiente, y nos indica el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas (horizontal)

·        Que b es la ordenada al origen

 

Sobre este tema también también puedes ver:

·        Como graficar la recta a partir de la pendiente y la ordenada al origen

·        Raíz de la función lineal

·        Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

·        Dada una recta hallar una paralela y una perpendicular.